칸트는 천재를 새로운 분야를 창조해 낼 수 있는 사람이라고 정의 내렸다. 천재는 보통 사람을 압도하는 직관력을 가진 사람을 말한다. 직관력이란 문제의 본질을 파악하는 능력으로 직관력이 높으면 문제를 마주했을 때, 뇌에서 자동으로 정답을 찾아낸다. 우리도 모두 직관력을 가지고 있다. '고양이 세 마리와 강아지 두 마리'라는 글을 보면 '총 다섯 마리'라는 답이 자동으로 나온다. 다만 우리의 지관은 매우 약해서 쉬운 문제에서만 발휘된다. 행성의 움직임이나 대기의 흐름처럼 어려운 문제들을 우리는 쉽게 알 수 없다. 이러한 차이 덕분에 천재들은 자신의 분야에서 항상 월등한 성과를 낸다. 그렇다면 천재가 아닌 우리들이 그들의 능력을 훔칠 수는 없을까? 기쁘게도 우리에게는 천재를 잡는 도구인 '수학'이 있다.
수학은 천재들이 자신의 생각을 보통 사람에게 가르치기 위해 만들어졌다. 처음으로 수학이 확립된 이집트를 살펴보자. 이집트는 나일강이 주기적으로 범람하여 땅의 경계가 사라졌다. 정확한 징세를 위해서는 땅의 경계를 언제나 똑같이 나눌 필요가 있었다. 천재에게는 너무 간단한 일이었고, 문명의 지도자인 파라오에게 자신의 방법을 말했다. 하지만 파라오는 그 말을 따르지 않았을 것이다. 이해할 수 없었기 때문이다. 그래서 천재는 누구나 이해할 수 있게 땅의 모양과 그것의 특징을 정리했다. 그 모양이 '도형'이고, 그것의 특징을 다루는 학문이 '기하학'이다. 파라오는 기하학을 통해 천재의 사고를 이해할 수 있었다.
수학의 본질은 문제의 핵심을 파악하는 데에 있다. 우리는 이것을 추상화라고 한다. 땅의 모양을 삼각형, 사각형 등의 도형으로 만든 것도 추상화이다. 우리는 추상화를 이용하여 우리 직관력이 활용되지 않는 어려운 문제를 쉽게 만들어 볼 것이다. 이 과정을 '수학적 문제 해결 과정'이라고 하겠다. 이 과정은 정의, 분해, 구조화, 모델화의 네 단계로 이루어져 있다. 수학적 문제 해결을 하기에 앞서 좋은 질문이 있어야 한다.
예) 노력과 재능 중에 무엇이 성공에 더 큰 영향을 미치는가?
1. 정의
해결하고자 하는 문제에 적용되는 개념들의 범위를 설정한다. 이때 중요한 점은 정의는 매우 엄밀해야 한다는 점이다.
잘못된 예) 운동 : 몸을 움직이는 활동/ 몸을 움직이는 모든 활동이 운동이라면 잠을 자며 뒤척이는 것도 운동인가? X
=> 운동 : 신체적으로 긍정적인 결과를 위해 의도적으로 몸을 움직이는 행위/ 이 경우 의도적으로 목적지로 가기 위한 걷기 등의 생활적 움직임을 정의에서 배제했다.
예) 성공 : 이 경우 노력과 재능의 비교임으로 운과 같은 외부의 요소를 제외한다. 따라서 성공을 내가 만들어 낼 수 있는 최대한의 성과라고 정의한다.
2. 분해
해결하고자 하는 문제를 작은 요소로 나눈다. 주의할 점은 나눠진 부분들은 서로에게 겹치는 부분이 있어서는 안 된다.
예) 1. 성과는 실력과 노력으로 구성되어있다. { 성과 | 실력, 노력 }, 2. 실력은 노력과 재능으로 구성되어있다. { 실력 | 노력, 재능}
3. 구조화
분해한 요소들을 비교하며 관계를 찾아본다. 이것은 직관의 영역으로 구체적인 방법은 존재하지 않는다. 이 관계를 파악할 수 없다면 직관이 사용되기에는 아직 복잡한 문제라는 뜻이다.
예) 분해의 결과 => { 성과 | 실력, 노력 }, { 실력 | 노력, 재능}이다. 실력은 노력과 재능에 비례한다. 성과는 노력과 실력에 비례한다.
4. 모델화
찾아낸 관계를 공식으로 일반화시킨다. 이 과정을 거치면 누구나 이해할 수 있을 만큼 직관적으로 변한다.
예) 실력 = 노력 X 재능, 성과 = 노력 X 실력(노력 X 재능), 따라서 성과(성공) = 노력 X 노력 X 재능 / 성공은 재능보다 노력에 더 많은 영향을 받는다는 결론을 도출할 수 있었다.
우리의 삶은 해결해야 하는 문제와 미지의 대상으로 가득 차있다. 수학은 이것을 간단한 형태로 만들어준다. 다만 수학은 기호와 표현을 배워야만 쓰거나 이해할 수 있다. 그래서 수학을 공부해야 하고, 이 도구를 언제나 쓸 수 있도록 연습해 두어야 한다.
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